벡터 공간

우리는 고등학교 때 부터 알게 모르게 벡터라는 단어를 많이 들어왔다. 고등학교 수학에서보다 물리에서 더 먼저 배우는 벡터를 아마 대다수는 그저 화살표라고만 생각할 것이다. (사실 맞다(?))

그러나 수학에서의 벡터는 우리의 생각보다 훨씬 추상적이다.
수는 물론이고, 화살표, 행렬, 심지어 고양이 emoji(😺)도 연산만 적절히 정의하면 벡터가 될 수 있다!

그러면 벡터와 벡터 공간의 정의를 살펴보자.

체 $F$가 고정되어 있고, 그 위의 집합 $V$에 덧셈($+ : V \to V$)과 스칼라곱(함수 $F \times V \to V$)이 주어져있을 때, 다음 조건(V0 ~ V8)을 만족하면 $V$를 $F$-위의 벡터공간이라고 한다.

V0) 덧셈과 스칼라곱의 결과 또한 벡터공간의 원소
$u,v \in V$ 이고 $a \in F$ 이면, $u + v \in V$ 이고 $au \in V$

V1) 덧셈의 결합법칙
$u, v, w \in V$ 이면, $(u+v) + w = u + (v+w)$

V2) 덧셈의 교환법칙
$u,v \in V$ 이면, $u + v = v + u$

V3) 덧셈의 항등원
[모든 $v \in V$ 에 대해 $v + 0 = v$] 인 $0 \in V$ 존재

V4) 덧셈의 역원
$v \in V$ 이면, $v + (-v) = 0$ 인 $-v \in V$ 존재

V5) 분배법칙 I
$u,v \in V$ 이고 $a \in F$ 이면, $a(u+v) = au + av$

V6) 분배법칙 II
$v \in V$ 이고 $a,b \in F$ 이면, $(a+b) v = av + bv$

V7) 스칼라곱의 교환법칙
$v \in V$ 이고 $a,b \in F$ 이면, $a(bv) = (ab)v = abv$

V8) 스칼라곱의 항등원
$v \in V$ 이면, $1 v = v$

이때, $V$의 원소를 벡터, $F$의 원소를 스칼라라고 한다.

한 개의 원소만을 갖는 벡터공간을 생각해보자. 그것의 원소를 $0$으로 표기하면, 덧셈과 스칼라곱을 다음과 같이 정의하면 된다.

이는 정의에 따라 벡터공간이고, 원소의 이름($0$, 😺, ...)은 정하기 나름이기 때문에 이들은 모두 사실상 같은 벡터공간이다. 이를 zero vector space라고 부른다.

덧셈과 스칼라곱을 componentwise하게 정의하면 벡터공간이 된다.

앗! $\mathfrak{M}_{m,n}(F)$ 는 $F^m \times \cdots (n \textrm{-times})\cdots \times F^m$와 사실상 같은 벡터공간이다!
$F^{mn}$ 과도? → 물론이다.