Graphical Models & D-separation

Causal graph는 random variable 간의 인과관계(causality)를 나타낸 그래프로써, 무언가 종속성이 있는 시스템을 표현하기 적합하다. 흔히 DAG(Directed Acyclic Graph) 로 나타낸다.

예를 들어, 확률변수 $x_1, x_2, x_3$와 noise $\varepsilon_i \sim {\cal N}(0, \sigma_i^2)$ 에 대하여 다음과 같은 system이 주어졌다고 하자.

$$\begin{align*} x_1 &= 4 + 2\varepsilon_1 \\ x_2 &= 3x_1 + 4\varepsilon_2 \\ x_3 &= 2x_2 + \varepsilon_3 \end{align*}$$

그러면, 이러한 상황을 간단히 다음과 같은 그래프로 표현할 수 있다.

$$\begin{CD} x_1 @>>> x_2 @>>> x_3 \\ @AAA @AAA @AAA \\ \varepsilon_1 @. \varepsilon_2 @. \varepsilon_3 \end{CD}$$

간단히, 다음과 같은 그래프에서 joint probability $p(x_1, x_2)$ 는 다음과 같이 분해(decomposition)될 수 있다.

$$\begin{CD} x_1 @>>> x_2 \end{CD}$$ $$p(x_1, x_2) = p(x_1) p(x_2 | x_1)$$

즉, 상위 node의 probability와, 상위 node가 given일 때 하위 node의 conditional probability를 곱한 것이다. Bayesian rule을 생각하면 당연한 결과이다.

그럼, 보다 복잡한 예시를 보자.

$$\begin{equation} \begin{CD} x_1 @>>> x_3 \\ @VVV @VVV \\ x_2 @>>> x_5 \\ @VVV \\ x_4 \end{CD} \end{equation}$$

위와 같은 grapical model에서 joint probability $p(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$이는 다음과 같이 decompose 될 수 있다.

$$p(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = p(x_1)p(x_2 | x_1) p(x_3 | x_1) | p(x_4 | x_2) p(x_5 | x_2, x_3)$$

이러한 분해는 DAG가 주어지면 random variable의 independence와 무관하게 항상 수행할 수 있다는 점을 꼭 기억하자.

두 확률변수 $A, B$ 에 대하여 둘이 독립(Marginally independent)이라는 것은 다음이 성립함을 의미한다.

$$\begin{align*} & p(A | B) = p(A) \\ \Longleftrightarrow \quad& p(A,B) = p(A) p(B) \end{align*}$$

$A, B$가 독립이면 $A \indep B$ 라고 쓴다.

두 확률변수 $A, B$가 주어진 확률변수 $C$에 대하여 조건부 독립(Conditionally independent)이라는 것은 다음이 성립함을 의미한다.

$$\begin{align*} & p(A | B, C) = p(A | C) \\ \Longleftrightarrow \quad& p(A,B | C) = p(A|C) p(B|C) \end{align*}$$

$A, B$가 given $C$에 대하여 conditionally independent이면 $A \indep B ~|~ C$ 라고 쓴다.

이러한 conditional independency를 확인하기 위해서는 앞서 소개한 decomposition rule을 적용하여 실제로 수식적으로 보이는 방법이 있지만, 매번 그렇게 긴 계산을 하는 것은 너무 복잡하다.

따라서, 이러한 수고를 조금이나마 덜어줄 수 있는 '규칙'이 있다. 이를 D-separation이라고 한다.

d-separation

여기서 파랗게 색칠한 node는 given node 이다. 즉, 각 given node가 주어졌을 때, 나머지 node 간의 independency를 나타낸 그림이다.

다음과 같은 chain에서 가운데 node가 given이면 나머지 node는 independent 하다.

$$\begin{CD} x_1 @>>> {\color{crimson}{x_2}} @>>> x_3 \end{CD}$$

(proof)

joint probability가

$$\begin{align*} p(x_1, x_2, x_3) = p(x_1) p(x_2 | x_1) p(x_3 | x_2) \end{align*}$$

이므로, $x_2$가 given일 때 conditional probability는

$$\begin{align*} p(x_1, x_3 | x_2) &= \frac{p(x_1, x_2, x_3)}{p(x_2)} \\ &= \frac{p(x_1) p(x_2 | x_1) p(x_3 | x_2)}{p(x_2)} \\ &= \frac{p(x_1) p(x_2 | x_1)}{p(x_2)} p(x_3 | x_2) \\ &= \frac{p(x_1, x_2)}{p(x_2)} p(x_3 | x_2) \\ &= p(x_1 | x_2) p(x_3 | x_2) \end{align*}$$

따라서 $x_1 \indep x_3 ~|~ x_2$

다음과 같은 graph에서 같은 원인(cause)를 공유하면, 그 결과는 독립이다.

$$\begin{CD} {\color{crimson}{x_1}} @>>> x_3 \\ @VVV \\ x_2 \end{CD}$$

(proof)

$$\begin{align*} p(x_2, x_3 | x_1) &= \frac{p(x_1, x_2, x_3)}{p(x_1)} \\ &= \frac{p(x_1) p(x_2 | x_1) p(x_3 | x_2)}{p(x_1)} \\ &= p(x_2 | x_1) p(x_3 | x_1) \end{align*}$$

따라서 $x_2 \indep x_3 ~|~ x_1$

아마도 셋 중 가장 특이한 녀석일 것이다. 다음과 같은 그래프가 있다.

$$\begin{CD} @. x_2 \\ @. @VVV \\ x_1 @>>> {\color{crimson}{x_3}} \end{CD}$$

여기서, $x_3$이 주어지지 않으면 $x_1 \indep x_2$ 이다. 하지만, $x_3$이 주어지면 독립이 아니게 된다.

이는 예시로 이해하는 것이 쉽고 빠르다.

예를 들어 불이 나거나($x_1$) 도둑이 들면($x_2$) 경보기가 울린다($x_3$)고 하자. 평상시에는 불이 나는것과 도둑이 드는 것은 독립적이다. 하지만, 어느날 자다가 경보가 울려서 잠이 깼다. ($x_3$가 관측됨) 그러면 여전히 불이 나는것과 도둑이 드는 것이 독립적일까? 아니다.

만일 불이 나는 것을 확인했다면 도둑이 들었을 확률은 매우 낮아진다. 즉, 불과 도둑 간의 relation이 생긴다^1↗는 것이다.

이들을 적절히 이용하면 빠르게 causal graph를 해석할 수 있다.

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Footnotes

1. 여기서는 음의 상관관계 ↩^↗